Kakutani Fixed Point Theorem

释义 Definition

Kakutani 不动点定理：一个关于“集合值映射（correspondence，多值函数）”的不动点存在性定理。它说明：在适当条件下（常见表述为：定义在非空、紧致、凸的集合上，取值为非空、凸、紧致子集，并满足某种连续性条件，如上半连续/上半连续性），该对应必存在一个点 \(x\)，使得 \(x\in F(x)\)。
它常用于证明纳什均衡等经济学与博弈论中的“存在性”结论。

发音 Pronunciation (IPA)

/ˌkɑːkuːˈtɑːni fɪkst pɔɪnt ˈθiːərəm/

例句 Examples

The Kakutani fixed point theorem is often used to prove that an equilibrium exists.
Kakutani 不动点定理常用来证明均衡的存在性。

Under convexity and compactness assumptions, we can apply the Kakutani fixed point theorem to a set-valued best-response correspondence.
在满足凸性与紧致性等假设时，我们可以把 Kakutani 不动点定理应用到集合值的最佳反应对应上。

词源 Etymology

Kakutani 来自日本数学家 Shizuo Kakutani（角谷静夫） 的姓氏；该定理在 20 世纪中期提出，被视为对 Brouwer 不动点定理 的重要推广：Brouwer 主要处理“单值连续函数”，而 Kakutani 处理“多值/集合值映射”，因此在经济学与博弈论中格外有用。

相关词 Related Words

• Brouwer Fixed Point Theorem
• Fixed Point
• Correspondence
• Upper Hemicontinuity
• Convex
• Compactness
• Nash Equilibrium
• Best Response

文学与著作中的用例 Literary Works

• Shizuo Kakutani (1941), A Generalization of Brouwer’s Fixed Point Theorem（提出并系统表述该定理的经典论文）
• Mas-Colell, Whinston, Green, Microeconomic Theory（微观经济学中用该定理处理一般均衡与对应的存在性）
• Fudenberg & Tirole, Game Theory（博弈论中用于证明均衡存在的标准工具之一）
• Aliprantis & Border, Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker’s Guide（泛函分析/经济学数学工具书中讨论相关不动点与对应理论）
• Aubin & Frankowska, Set-Valued Analysis（集合值分析框架下对该定理及其变体的讨论）